O Problema da Herança dos Camelos
L Vallejo02/03/2013
O interessante problema foi extraído de uma das obras do talentoso engenheiro e professor de Matemática, além de prolífico escritor Júlio César de Mello e Souza, que escreveu mais de cem obras, muitas delas abordando o lado recreativo e histórico da Matemática. Seu nome é, no entanto, pouco conhecido. A razão é que ele assinou a maioria de suas obras com o pseudônimo de Malba Tahan.
Eis o problema:
No seu livro "O Homem que Calculava" o herói, o matemático Beremiz Samir, viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente.
- O mais velho receberia a metade. Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs:
- O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo!
- O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo!
- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe.Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:
- o mais velho recebe: ½ de 36 = 18, que é mais que 17 e 1/2
- o irmão do meio recebe: 1/3 de 36 = 12 que é mais que 11 e 2/3
- o caçula recebe: 1/9 de 36 = 4 que é mais que 3 e 8/9
Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando.
Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo?
Ouçamos de novo nosso matemático:
- O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança.Eis, então o intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?
SOLUÇÃO:
(por L. Vallejo)
O mistério é a utilização de uma falácia matemática, ou seja, uma divisão proporcional onde as partes somadas não perfazem o todo. Explicando melhor:
Digamos que você tenha que repartir um bolo. Nesse caso, o “todo” é o bolo, ou seja, o total daquilo que vai ser repartido.
Digamos que você reparta o bolo da seguinte forma: Um terço para seu pai, um terço para sua mãe e um terço para sua avó.
Então temos:
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1
Ou seja, a soma das frações em que o bolo será dividido é 1. Isso quer dizer se juntarmos as partes divididas teremos o todo novamente, ou seja 1 bolo.
Agora digamos que o bolo deve ser repartido da seguinte forma:
Um quarto para seu pai, um quarto para sua mãe, um quarto para sua avó e um quarto para seu tio.
Então temos:
1/4 + 1/4 + 1/4 + ¼ = 4/4 = 1
Ou seja, a soma das frações em que o bolo será dividido é 1. Isso quer dizer se juntarmos as partes divididas teremos o todo novamente, ou seja 1 bolo
Mas, se você determinar que o bolo deve ser repartido da seguinte forma: Um terço para seu pai, um terço para sua mãe e um quarto para sua avó, acontecerá o seguinte:
Então temos:
1/3 + 1/3 + 1/4 = 11/12 diferente de 1
Agora, se juntarmos as partes divididas não teremos o bolo reconstituído. Vai faltar uma fatia (a fatia verde)
Isso significa que você determinou dividir o bolo de uma maneira tal que ao se separar os pedaços ainda vai sobrar uma fatia de bolo. Ou seja, sua repartição não dividiu o bolo inteiro. Deixou sobra.
Essa sobra neste exemplo é equivalente a 1/12 do bolo
A mesma coisa ocorre com os camelos do problema. O modo como o pai mandou repartir deixa sobra:
½ + 1/3 + 1/9 = 17/18
A parte azul, que falta para completar o bolo, é igual a:
1 - 17/18 = 1/18
Essa é, portanto, a sobra quando se divide a herança da forma estipulada, ou seja, metade mais um terço mais um nono.
Quando se adiciona um camelo ao espólio de 35, tem-se um total de 36 camelos.
Se a repartição for feita sobre 36 camelos e não 35, o resultado será:
a) 36 ÷ 1/2 = 18
b) 36 ÷ 1/3 = 12
c) 36 ÷ 1/9 = 4
Mas, somando-se as partes de cada um:
18 + 12 + 4 = 34
Verifica-se que sobraram 2 camelos (36 - 34 = 2 )
Veja que esta é a sobra prevista de 1/18. Ou seja 1/18 de 36 = 2
Na visão dos herdeiros, parece que levaram vantagem, mas, na visão do espólio, não.
Vejamos:
a) 35 ÷ 1/2 = 17 1/2
b) 35 ÷ 1/3 = 11 2/3
c) 35 ÷ 1/9 = 3 8/9
Somando-se as partes:
17 ½ + 11 2/3 + 3 8/9 = 33 1/18
Como são 35 camelos, então restou no espólio:
35 - 33 1/18 = 1 17/18 ou 35/18
Mais uma vez, note que esta é a sobra prevista de 1/18. Ou seja 1/18 de 35 = 35/18
Como o modo de partilha não dividia o todo, cada um recebeu uma parte e ainda sobrou algo no espólio, ou seja 1 17/18 de camelo, quase dois camelos, que, a rigor deveriam ser partilhados também entre os herdeiros.
Então, se isso fosse feito, os herdeiros teriam que receber a mais:
a) 35/18 ÷ 1/2 = 35/36
b) 35/18 ÷ 1/3 = 35/54
c) 35/18 ÷ 1/9 = 35/162
Então os recebimentos ficariam assim:
a) 17 ½ + 35/36 = 18 17/36 (ou seja 18 camelos e quase meio camelo a mais)
b) 11 2/3 + 35/34 = 12 17/54 (12 camelos e mais quase 1/3 de camelo)
c) 3 8/9 + 35/162 = 4 17/162 (4 camelos e mais quase 1/9 de camelo)
Portanto os herdeiros perderam ao abrirem mão das frações que lhes eram de direito.
Na partilha feita pelo esperto:
a) 35 ÷ 1/2 = 17 1/2
b) 35 ÷ 1/3 = 11 2/3
c) 35 ÷ 1/9 = 3 8/9
Sobra 1 17/18 camelo. Juntando-se mais um, tem-se: 2 17/18 ou 2 34/36. Deve-se então retirar daqui o que é necessário para completar o numero de camelos da cada um, ou seja, 18, 12 e 4.
A Conta é essa:
a) temos 17 ½ - para 18 faltam 1/2
b) temos 11 2/3 - para 12 faltam 1/3
a) temos 3 8/9 - para 4 faltam 1/9
Então do que sobra, vamos retirar essas parcelas:
2 34/36 - (1/2 + 1/3 + 1/9) =
2 34/36 - 34/36 = 2
Então sobraram 2 camelos.
Fim do mistério
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