Para relaxar: Malba Tahan e o Problema dos Camelos

O Problema da Herança dos Camelos

L Vallejo
02/03/2013

O interessante problema foi extraído de uma das obras do talentoso engenheiro e professor de Matemática, além de  prolífico escritor Júlio César de Mello e Souza, que escreveu mais de cem obras, muitas delas abordando o lado recreativo e histórico da Matemática. Seu nome é, no entanto, pouco conhecido. A razão é que ele assinou a maioria de suas obras com o pseudônimo de Malba Tahan.

Eis o problema:

No seu livro "O Homem que Calculava" o herói, o matemático Beremiz Samir, viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente. 

Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança:

- O mais velho receberia a metade. Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!
- O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo!
- O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo!

Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs:

- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe.

Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:

        - o mais velho recebe: ½ de 36 = 18, que é mais que 17 e 1/2

        - o irmão do meio recebe: 1/3 de 36 = 12 que é mais que 11 e 2/3

        - o caçula recebe: 1/9 de 36 = 4 que é mais que 3 e 8/9

Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando.
Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo?
Ouçamos de novo nosso matemático:

- O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança.

Eis, então o intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?

SOLUÇÃO:

(por L. Vallejo)
 
O mistério é a utilização de uma falácia matemática, ou seja, uma divisão proporcional onde as partes somadas não perfazem o todo. Explicando melhor:

Digamos que você tenha que repartir um bolo. Nesse caso, o “todo” é o bolo, ou seja, o total daquilo que vai ser repartido.
Digamos que você reparta o bolo da seguinte forma: Um terço para seu pai, um terço para sua mãe e um terço para sua avó.

Então temos:
1/3  + 1/3  + 1/3 = 3/3   =   1
Ou seja, a soma das frações em que o bolo será dividido é 1. Isso quer dizer se juntarmos as partes divididas teremos o todo novamente, ou seja 1 bolo.





 

Agora digamos que o bolo deve ser repartido da seguinte forma:

Um quarto para seu pai, um quarto para sua mãe, um quarto para sua avó e um quarto para seu tio.  

Então temos:
1/4  + 1/4  + 1/4  + ¼  =  4/4   = 1
Ou seja, a soma das frações em que o bolo será dividido é 1. Isso quer dizer se juntarmos as partes divididas teremos o todo novamente, ou seja 1 bolo


 


Mas, se você determinar que o bolo deve ser repartido da seguinte forma: Um terço para seu pai, um terço para sua mãe e um quarto para sua avó, acontecerá o seguinte:

Então temos:

1/3  + 1/3  + 1/4   = 11/12   diferente de 1
Agora, se juntarmos as partes divididas não teremos o bolo reconstituído. Vai faltar uma fatia (a fatia verde)
Isso significa que você determinou dividir o bolo de uma maneira tal que ao se separar os pedaços ainda vai sobrar uma fatia de bolo. Ou seja, sua repartição não dividiu o bolo inteiro. Deixou sobra.

Essa sobra neste exemplo é equivalente a 1/12 do bolo

A mesma coisa ocorre com os camelos do problema.

O modo como o pai mandou repartir deixa sobra:
½ + 1/3 + 1/9 = 17/18
A parte azul, que falta para completar o bolo, é igual a:
1  -  17/18  =  1/18

Essa é, portanto, a sobra quando se divide a herança da forma estipulada, ou seja, metade mais um terço mais um nono.

Quando se adiciona um camelo ao espólio de 35, tem-se um total de 36 camelos.

Se a repartição for feita sobre 36 camelos e não 35, o resultado será:
a) 36 ÷ 1/2 = 18
b) 36 ÷ 1/3 = 12
c) 36 ÷ 1/9 =   4
Mas, somando-se as partes de cada um:
18 + 12 + 4 = 34
Verifica-se que sobraram 2 camelos (36  - 34  = 2 )
Veja que esta é a sobra prevista de 1/18. Ou seja 1/18 de 36 = 2

Na visão dos herdeiros, parece que levaram vantagem, mas, na visão do espólio, não.
Vejamos:
a) 35 ÷ 1/2  = 17  1/2
b) 35 ÷ 1/3  = 11  2/3
c) 35 ÷ 1/9  =   3  8/9
Somando-se as partes:
17 ½ + 11 2/3 + 3 8/9 = 33 1/18
Como são 35 camelos, então restou no espólio:
35 - 33 1/18 = 1 17/18 ou 35/18

Mais uma vez, note que esta é a sobra prevista de 1/18. Ou seja 1/18 de 35 = 35/18

Como o modo de partilha não dividia o todo, cada um recebeu uma parte e ainda sobrou algo no espólio, ou seja 1 17/18 de camelo, quase dois camelos, que, a rigor deveriam ser partilhados também entre os herdeiros.

Então, se isso fosse feito, os herdeiros teriam que receber a mais:
a) 35/18 ÷ 1/2 = 35/36
b) 35/18 ÷ 1/3 = 35/54
c) 35/18 ÷ 1/9 = 35/162

Então os recebimentos ficariam assim:
a) 17 ½ + 35/36   = 18  17/36 (ou seja 18 camelos e quase meio camelo a mais)
b) 11 2/3 + 35/34 = 12 17/54 (12 camelos e mais quase 1/3 de camelo)
c) 3 8/9 + 35/162 = 4 17/162 (4 camelos e mais quase 1/9 de camelo)
Portanto os herdeiros perderam ao abrirem mão das frações que lhes eram de direito.

Na partilha feita pelo esperto:
a) 35 ÷ 1/2 = 17 1/2
b) 35 ÷ 1/3 = 11 2/3
c) 35 ÷ 1/9 =   3 8/9
Sobra 1 17/18 camelo. Juntando-se mais um, tem-se: 2 17/18 ou 2 34/36. Deve-se então retirar daqui o que é necessário para completar o numero de camelos da cada um, ou seja, 18, 12 e 4.
A Conta é essa:
a) temos 17 ½   - para 18 faltam 1/2
b) temos 11 2/3 - para 12 faltam 1/3
a) temos 3 8/9   - para  4 faltam 1/9

Então do que sobra, vamos retirar essas parcelas:
2 34/36 - (1/2 + 1/3 + 1/9) =
2 34/36 - 34/36 = 2
Então sobraram 2 camelos.
 
Fim do mistério
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