Um Matemático Notável
L. Vallejo
Primavera 2024
Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905 – 1986) foi um matemático Indiano que dedicou sua vida ao estudo dos números. De seu vasto acervo ficou famoso por divulgar em 1949 seu estudo sobre números de quatro algarismos, o que ficou conhecido como “O algoritmo de Kaprekar”. Esse estudo tornou universalmente famoso o número 6174. Após isso, apresentou também um estudo de números especiais que chamou de “números harshad”, palavra em sânscrito que significa “números divertidos”. Esses números são conhecidos também como “números Niven”. Outro estudo apresentou propriedades de certos números que ficaram conhecidos como “números de Kaprekar”.
Veremos aqui:
1 - O algoritmo de Kaprekar
2 – Os números de Kaprekar
3 – Números harshad
4 - Exemplos
1 – O algoritmo de Kaprekar
A rotina Kaprekar é um algoritmo criado em 1949 por D. R. Kaprekar para números de 4 dígitos, mas que pode ser generalizado para números com qualquer quantidade dígitos.
Exemplo:
1456 número de 4 dígitos
378 número de 3 dígitos
58902 número de 5 dígitos
Para aplicar a rotina Kaprekar a um número qualquer, organize os dígitos (da esquerda para a direita) em ordem decrescente, ou seja, criando o maior número, e em ordem crescente, criando o menor número. Para números de quatro dígitos é necessário que tenha pelo menos dois algarismos diferentes.
Assim, para o número 9102, por exemplo, teremos:
9210 Maior número
0129 Menor número
Agora faça a subtração dos dois números criados. Essa operação é chamada de “função Kaprekar’.
Exemplo para o número 9102, que tem quatro dígitos:
9210 – 0129 = 9081
Agora tome o resultado (9081) e repita o processo por diversas vezes.
O algoritmo atinge 0 (um caso degenerado), uma constante ou um ciclo, dependendo do algarismo e de sua quantidade de dígitos. A lista de valores é algumas vezes chamada de sequência Kaprekar, e o resultado da constante é algumas vezes chamado de “número Kaprekar”, embora essa nomenclatura deva ser descontinuada por se confundir com os números hashard.
Exemplo para 9102:
9210 – 0129 = 9081
9810 – 0189 = 9621
9621 – 1269 = 8352
8532 – 2358 = 6174
Observe agora que se continuarmos executar o algoritmo algo estranho vai acontecer:
7641 - 1467 = 6174
7641 - 1467 = 6174
7641 - 1467 = 6174
7641 - 1467 = 6174
Nesse caso o algoritmo atingiu uma constante que é 6174. Foi isso que o matemático apresentou em 1949 e esse número, desde então, ficou conhecido como “constante de Kaprekar” que vai aparecer na grande maioria dos números de quatro algarismos.
Na base 10 (nossa numeração de 0 a 9) executando o algoritmo de Kaprekar, todos os números de 1 e 2 dígitos dão 0.
Para os de três dígitos, exatamente 60 números dão 0, enquanto o restante dá 495 em no máximo 6 iterações.
Para os de quatro dígitos, exatamente 77 números dão 0, enquanto o restante dá 6174 em, no máximo, 8 iterações.
Alguns números de 3 dígitos que dão 0
110, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 223, 232, 233, 322, 323, 332, 333, 334, 343, 344, 433, 434, 443, 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555, 556, 565, 566, 655, 656, 665, 666, 667, 676, 677, 766, 767, 776, 777, 778, 787, 788, 877, etc.
Veja a tabela completa aqui: Table of n, a(n) for n=1..60
Alguns números de quatro dígitos que dão 0:
1101, 1110, 1111, 1112, 1121, 1211, 1222, 2111, 2122, 2212, 2221, 2222, 2223, 2232, 2322, 2333, 3222, 3233, 3323, 3332, 3333, 3334, 3343, 3433, 3444, 4333, 4344, 4434, 4443, 4444, 4445, 4454, 4544, 4555, 5444, 5455, 5545, 5554, 5555, etc.
Veja a tabela completa aqui: Table of n, a(n) for n=1..77
Algumas constantes que resultam da execução do algoritmo dependendo da quantidade de dígitos do algarismo:
0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, 9753086421, 9975084201, 86431976532, 555499994445, 633331766664, 975330866421, 997530864201, 999750842001, 8643319766532, 63333317666664, etc.
Veja uma tabela maior aqui: https://oeis.org/A099009/b099009.txt
2 – Os números de Kaprekar
Outra descoberta de Kaprekar foi a propriedade de alguns números que, se forem elevados a uma potência, dividindo o resultado em tantas partes quantas forem os algarismos do número (a começar pela direita) e somar essas partes se obtém o número original de volta. Esses números foram chamados de Números de Kaprekar.
Exemplos de números ao quadrado:
Exemplo: 9²
Elevando 9 ao quadrado temos 81
Dividindo 81 em partes, cada parte com um algarismo, temos: 8 e 1
Somando-se 8 + 1 obtemos o número original, que é 9.
Outro exemplo: 297²
Elevando 297 ao quadrado temos 88209
Dividindo 88209 em partes com 3 algarismos temos: 088 e 209
Somando-se 88 + 209 obtemos o número original, que é 297.
Outro exemplo: 17344²
Elevando 17344 ao quadrado temos 300814336
Dividindo 300814336 em partes com 5 algarismos temos: 03008 e 14336
Somando-se 3008 + 14336 obtemos o número original, que é 17344.
A mesma propriedade pode ser aplicada a certos números que forem elevados a potências maiores, como ao cubo, a quarta, quinta, etc. São as “sequências de Kaprekar”.
Exemplo: 4544³
Elevando 4544 ao cubo temos 93824221184
Dividindo 93824221184 em partes com 4 algarismos temos : 0938 , 2422, 1184
Somando-se 938+2422+1184 obtemos o número original, que é 4544
Outro exemplo: 190576⁴
Elevando 190576 à quarta temos 1319085144029937074176
Dividindo em partes com 6 algarismos temos : 1319, 085144, 029937, 074176
Somando-se 1319+085144+029937+074176 obtemos o número original, que é 190576
Alguns números de Kaprekar:
Para quadrados: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, etc
Para cubos: 1, 8, 10, 45, 297, 2322, 2728, 4445, 4544, 4949, 5049, 5455, 5554, 7172, 27100, 44443, 55556, 60434, 77778, 143857, 208494, 226071, 279720, 313390, 324675, etc.
Para potências de quatro: 1, 7, 45, 55, 67, 100, 433, 4950, 5050, 38212, 65068, 190576, 295075, 299035, 310024, 336700, 343333, 394615, 414558, 433566, 448228, 450550, etc
Para potências de cinco: 1, 10, 1000, 7776, 27100, 73440, 95120, 500499, 505791, 540539, 598697, 665335, 697598, 732347, 7607610, 37944478, 46945205, 54995500, etc.
Um estudo sobre esse assunto, com tabelas está aqui:
https://www.mrob.com/pub/seq/kaprekar.html
3 – Os Números Harshad
Em matemática, um número harshad (ou número de Niven) em uma dada base numérica é um inteiro que é divisível pela soma de seus dígitos quando escrito nessa base. Os números harshad foram definidos por D. R. Kaprekar. O termo "número de Niven" surgiu de um artigo apresentado por Ivan M. Niven em uma conferência sobre teoria dos números em 1977.
Por exemplo, o número 12.
Seus dígitos são 1 e 2. Sua soma é 1 + 2 = 3
Então 12 que é divisível por 3, pois 12 ÷ 3 = 4, é um número harshad
Outro exemplo: 152
Seus dígitos são 1 , 5 e 2. Sua soma é 1 + 5 + 2 = 8
Então 152 que é divisível por 8, pois 152 ÷ 8 = 19, é um número harshad
Na base 10, os primeiros números harshad são:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, etc.
Para uma tabela maior ver: https://oeis.org/A005349/b005349.txt
4 – Exemplos
A constante 6174
Depois que se atinge 6174 entra-se em loop e o resultado do algoritmo é sempre o mesmo:
Para números de três algarismos a constante é 495
Exemplos
Bibliografia:
https://en.wikipedia.org/wiki/D._R._Kaprekar
https://oeis.org/A005349
https://kaprekar.sourceforge.net/
https://www.mrob.com/pub/seq/kaprekar.html
https://mathworld.wolfram.com/notebooks/IntegerSequences/KaprekarNumber.nb
https://oeis.org/A151949
https://oeis.org/A069746/b069746.txt
https://kaprekarsconstant.com/
https://math.info/Misc/Kaprekar_Constant_6174/
https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
https://mathworld.wolfram.com/KaprekarRoutine.html
https://math.stackexchange.com/questions/4183370/what-is-the-logic-behind-kaprekars-constant
