SOFISMAS DE CÁLCULOS - 2
L Vallejo
Mais alguns exemplos de aplicação da matemática em alguns sofismas encontradas nos livros “O Homem que Calculava” e “Matemática Divertida e Hilariante” de Malba Tahan
1 - Certa vez, no século passado, três amigos foram jantar em um restaurante. Terminada a refeição pediram a conta:
- O valor da conta é 30 reais - informou o garçom. Cada um dos amigos contribuiu com 10 reais e o jantar foi pago.
Momentos depois, volta o garçom com 5 reais na mão e explica:
- Houve um engano. O jantar devia ter custado 25 reais e não 30, como eu
disse. Aqui está a diferença de 5 reais que o patrão mandou restituir.
Da quantia devolvida os amigos deram 2 reais de gorjeta ao garçom, e repartiram
os 3 reais restantes, como devia, cabendo de volta, para cada um, o troco de 1
real.
Um dos amigos tendo refletido sobre esse caso, observou intrigado:
- Essa conta, afinal, está muito esquisita. Cada um de nós pagou 10 reais e recebeu, de troco, 1 real. Logo cada um de nós pagou 9 reais. Ora, se cada um de nós pagou 9 reais, é lógico, é evidente, que o jantar custou 27 reais. Juntando a essa quantia (27 reais) ao troco do garçom, chega-se à soma de 29 reais. Como demos 30 reais inicialmente, há uma diferença de 1 real. Para onde foi esse real?
?????
2
- Júlio, Antônio e Enzo foram lanchar. Os dois primeiros tinham dinheiro e Enzo
somente receberia a mesada no dia seguinte. Assim, este último prometeu que se
os dois pagassem seu lanche, no dia seguinte ele arcaria sozinho com toda
despesa, ressarcindo devidamente a Júlio e Antônio. O trato foi aceito, Júlio e Antônio juntaram
seu dinheiro e compraram 8 hamburguers. Júlio pagou 5 e Antônio pagou 3. Ou
seja, o valor da compra foi de 62,5% (5 lanches) para Júlio e 37,5% (3 lanches)
para Antônio.
Sentaram-se
à mesa e dividiram os 8 lanches em 3 partes cada um, dando um total de 24
pedaços. Cada um pegou 8 pedaços e fizeram a festa.
No
outro dia Enzo apareceu com sua mesada e disse que ia pagar 62,5% para Júlio e
37,5% para Antônio, que foi o valor total do lanche.
Júlio
então protestou e disse que o certo era ele receber 87,5% (7 lanches) e Antônio
somente12,5% (1 lanche). Isso criou uma confusão. O que é o certo?
?????
3
- Alex possui um celular que vale 1100,00. Precisando vendê-lo ofereceu a
metade do lucro a quem indicasse um comprador. Tom conseguiu um comprador, o
Bob, que pagou 1350,00. Mas, no dia seguinte, Bob precisou de dinheiro com
urgência e ofereceu o celular de volta a Alex, por 1020,00. Este fez o negócio.
A
tarde, Tom conseguiu vender o mesmo celular para André por 1500,00. No outro dia, porém, a mãe de
André faleceu e ele precisou de dinheiro para o funeral. Ofereceu então o
celular de volta a Alex por 900,00. Este aceitou.
No
outro dia, Tom conseguiu outro comprador que levou o aparelho por 1440,00.
Passada
uma semana, Tom pediu sua comissão a Alex, que, de acordo com seus cálculos,
era de 1050,00. Alex não concordou, alegando que os cálculos estavam errados e
que deveria pagar apenas 585,00.
Tom
então apresentou o seguinte quadro.
|
|
Valor do aparelho |
Preço de venda |
Preço de recompra |
lucro |
|
1ª Transação |
1200 |
1350 |
|
150 |
|
2ª Transação |
1350 |
|
1020 |
330 |
|
3ª Transação |
1020 |
1500 |
|
480 |
|
4ª Transação |
1500 |
|
900 |
600 |
|
5ª Transação |
900 |
1440 |
|
540 |
|
Total |
|
|
|
2100 |
Metade do total: 2100 div 2 = 1050,00
Tom está certo ou errado?
SOLUÇÕES
1- Trata-se de sofisma de cálculo, onde parcelas são somadas sem qualquer sentido lógico. Ou seja, a atenção é desviada do ganho correto de cada um.
Veja o quadro de receitas:
|
Restaurante |
Clientes |
Garçom |
Total de Dinheiro circulante |
|
|
1ª Situação |
-30,00 |
30,00 |
||
|
2ª Situação |
25,00 |
5,00 |
30,00 |
|
|
3ª Situação |
25,00 |
3,00 |
2,00 |
30,00 |
Ou seja, quando se dá desconto, a hipótese primeira do problema (valor da conta = 30,00) muda, aparecendo aí um novo e diverso problema.
Veja que a conta passou a ser 25,00, devendo cada freguês pagar 8,33. O garçom então, introduz um novo valor da conta, pois ao ficar com 2,00, fez com que ela agora se tornasse 27,00.
Isso fica visível pelo quadro, onde do novo valor, cujos clientes pagaram 27,00 o restaurante ficou com 25,00 e o garçom com 2,00 (25,00+2,00=27,00).
Assim, o dinheiro da gorjeta, ao sair do valor da conta alterada paga pelo cliente, não pode ser somado a ela, no final da operação e ter seu resultado confrontado com o valor original da conta. Ao se proceder dessa forma pode-se chegar a absurdos.
Veja o exemplo, onde se tem como hipótese que o restaurante cobrou apenas 17,00 (de uma conta de 30,00) sobrando um troco de 13,00 e o garçom devolvendo 3,00 ficou com 10,00 de gorjeta:
|
Restaurante |
Clientes |
Garçom |
Total de Dinheiro circulante |
|
|
1ª Situação |
-30,00 |
30,00 |
||
|
2ª Situação |
17,00 |
13,00 |
30,00 |
|
|
3ª Situação |
17,00 |
3,00 |
10,00 |
30,00 |
Assim, cada cliente pagou:
10,00 – 1,00 = 9,00
3 x 9,00 = 27,00
Somados aos 10,00 do garçom: 27,00 + 10,00 = 37,00 !!!
Como o dinheiro circulante é apenas 30,00 tal operação fica confirmada como inválida e absurda.
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2 - A solução é encontrada quando se raciocina tendo em vista o quanto cada um comeu. Veja o quadro abaixo:
|
Nome |
Lanches comprados |
Pedaços |
Pedaços comidos |
Contribuiu para Enzo com |
Deve Receber |
|
Júlio |
5 |
15 |
8 |
7 |
87,5% |
|
Antônio |
3 |
9 |
8 |
1 |
12,5% |
|
Enzo |
|
|
8 |
|
|
|
Total |
8 |
24 |
24 |
8 |
100% |
Ou seja, dos 24 pedaços, cada um comeu 8. Júlio deu 7 pedaços e Antônio deu 1 para Enzo. Então a porcentagem contribuição de Júlio é de 7 para 8 ou 87,5% e a de Antônio é de 1 para 8, ou seja 12,5%. São essas porcentagens do valor da compra que Enzo tem pagar a cada um dos dois.
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3 -Aqui se configura um sofisma, pois quando há a recompra não se pode exigir lucro. Ou seja, o lucro é calculado somente sobre A VENDA.
Cálculo:
Valor do aparelho | Preço de venda | Preço de recompra | Lucro | |
1ª Transação | 1200 | 1350 | 150 | |
2ª Transação | 1350 | 1020 | ||
3ª Transação | 1020 | 1500 | 480 | |
4ª Transação | 1500 | 900 | ||
5ª Transação | 900 | 1440 | 540 | |
Total | 1170 |
Metade do total: 1170 div 2 = 585,00
Veja que Alex não fez bom negócio ao estipular como comissão a metade do lucro, pois acabou vendendo o celular por 1440,00 e teve que pagar 585 de comissão, ficando apenas com 885.
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